「outstay」は中英語から派生し、「out-」は「超えて」、「stay」は「留まる」を意味します。

「stay」は古英語の「stǣgan」から変化し、最終的に現代英語の「stay」になりました。

最初は「ある地点を超えて留まる」という意味でしたが、この意味は現代でもほぼ同じです。